Задание 10.7

Question

Для функции $f(x) = 4x^3 + 4x$ найдите первообразную $F$, один из нулей которого равен -1. Найдите остальные нули первообразную.

Gimli · Accepted Answer

Допустим, что $f(x) = n(x) + m(x) = 4x^3 + 4x \ [n(x) = 4x^3, m(x) = 4x].$ Значит, $(F(x))^{\prime} = n(x)+m(x)\implies F(x) = N(x) + M(x)+C$, где $N(x), M(x)$ это первообразные функций $n(x), m(x)$:
$$n(x)  = 4x^3\implies N(x) = x^4;\quad m(x) = 4x = 2\cdot 2x\implies M(x) = 2\cdot x^2 = 2x^2.$$
Теперь через полученные значения найдём $F(x)$:
$$F(x) = N(x) + M(x)+C = x^4 + 2x^2 + C.$$
Чтобы найти С, подставим вместо $x$ значение -1 и приравняем к 0.
$$F(x) = (-1)^4+2\cdot (-1)^2 + C = 1+2+C=3+C = 0\implies C=-3.$$
Значит, искомая функция это $F(x) = x^4+2x^2-3.$ Приравняем эту функцию к 0, чтобы найти оставшийся ноль:
$$x^4+2x^2-3=0.$$
$$x^4+2x^2+1-4=0.$$
$$(x^2+1)^2=4.$$
$$x^2+1=2 \quad 	ext{или} \quad x^2+1=-2.$$
$$x^2=1 \quad 	ext{или} \quad x^2=-3.$$
$$x=\pm 1\quad 	ext{или} \quad x\in \{\varnothing\}.$$
	extbf{Ответ: $x=\pm 1.$}

Задание 10.7

Answers

Comments

Задание 10.7

Answers

Comments

Add answer