Задание 2.11

Question

2.11. Решите уравнение:
ewline
1) $2^{2 x+1}-5 \cdot 2^{x}+2=0$;
ewline
2) $4^{x+1}+4^{1-x}=10$;
ewline
3) $5^{2 x-3}-2 \cdot 5^{x-2}=3$;
ewline
4) $9^{x}-6 \cdot 3^{x-1}=3$;
ewline

5) $3^{x+1}+3^{2-x}=28$
ewline

6) $\frac{9}{2^{x}-1}-\frac{21}{2^{x}+1}=2$.

Gimli · Accepted Answer

$$
\begin{array}{l}
	ext { 1) } 2^{2 x+1}-5 \cdot 2^{x}+2=0 ; \2 \cdot 2^{2 x}-5 \cdot 2^{x}+2=0 ; \	ext { Пусть   }2^{x}=a, 	ext { тогда } \2 a^{2}-5 a+2=0 ;\
D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=9 ; \ a_{1}=\frac{5+3}{4}=2, a_{2}=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2} ;\
\left[\begin{array}{l}
2^{x}=2 \
2^{x}=\frac{1}{2} ; \quad\left[\begin{array} { l } 
{ 2 ^ { x } = 2 ^ { 1 } } \
{ 2 ^ { x } = 2 ^ { - 1 } }
\end{array} \left[\begin{array}{l}
x=1 \
x=-1
\end{array} \quad 	ext { Ответ }:-1 ; 1 .ight.ight.
\end{array}ight.\
\
	ext { 2) } 4^{x+1}+4^{1-x}=10 ;\ 4^{x} \cdot 4^{1}+4^{1} \cdot 4^{-x}=10 ; \4 \cdot 4^{x}+\frac{4}{4^{x}}-10=0 \qquad( 	imes 4^x)\
4 \cdot 4^{2 x}+4-10 \cdot 4^{x}=0 \ 	ext { Пусть } 4^{x}=a, 	ext {  тогда  }\4 a^{2}-10 a+4=0 \ 2 a^{2}-5 a+2=0 \
D=25-4 \cdot 4=9 \ a_{1}=\frac{5+3}{4}=2  \quad a_{2}=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2} \
\left[\begin{array}{l}
4^{x}=2 \
4^{x}=\frac{1}{2} ; \quad\left[\begin{array}{l}
4^{x}=4^{\frac{1}{2}} \
4^{x}=4^{-\frac{1}{2}}
\end{array} ;\left[\begin{array}{l}
x=\frac{1}{2} \
x=-\frac{1}{2}
\end{array}ight. \operatorname{Ответ} :-\frac{1}{2} ; \frac{1}{2} .ight.
\end{array}ight.

\end{array}
$$

3) $5^{2 x-3}-2 \cdot 5^{x-2}=3 $
ewline
$\frac{5^{2 x}}{5^{-3}}-2 \cdot \frac{5^{x}}{5^{2}}-3=0 \qquad ( 	imes 5^{3})$
ewline
  
 $5^{-2 x}-10\cdot5^{-x}-375=0 $
ewline
 Пусть  $5^{x}=n $ тогда 
ewline
$n^{2}-10 n-375=0$ 
ewline
$D=100+4 	imes 375=1600=40^{2}$
ewline
$ n_{1}=-15;  n_{2}=25 $
ewline

$\left[\begin{array}{l}5^{-x}=-15 ;x \in \{\varnothing\}\ 5^{x}=25\end{array}ight.$
ewline
 $5^{x}=5^{2} $
ewline
$x=2 . \quad$ Ответ: $2 $ 
ewline

ewline

4) $9^{x}-6 \cdot 3^{x-1}=3 $ 
ewline
$3^{2 x}-\frac{6 \cdot 3^{x}}{3}-3=0 $
ewline
$3 \cdot 3^{2 x}-6 \cdot 3^{x}-9=0 ;$
ewline
$3^{2 x}-2 \cdot 3^{x}-3=0 $. 
ewline
Пусть $3^{x}=z$ , тогда 
ewline
$z^{2}-2 z-3=0 $
ewline
$z_{1}=3, z_{2}=-1 $
ewline
$\left[\begin{array}{l}3^{x}=3 \ 3^{x}=-1 ;x \in \{\varnothing\}\end{array}ight.$
ewline 
 $3^{x}=3^{1} $
ewline 
$x=1$ 
ewline Ответ: $1 $
ewline

ewline

5) $3^{x+1}+3^{2-x}=28 $
ewline 
$ 3 \cdot 3^{x}+\frac{3^{2}}{3^{x}}-28=0 $
ewline 
$3 \cdot 3^{2 x}-28 \cdot 3^{x}+9=0.$
ewline 
 Пусть ${ 3^{x}}=m$, тогда
ewline 
 $3 m^{2}-28 m+9=0$
$D=28^{2}-4 \cdot 3 \cdot 9=676 $
ewline
  $ m_{1}=\frac{28+26}{6}=9$
ewline 
$m_{2}=\frac{28-26}{6}=\frac{1}{3}, $
ewline 
$\left[\begin{array}{l}3^{x}=9 \ 3^{x}=\frac{1}{3} \end{array} ;\left[\begin{array}{l}3^{x}=3^{2} \ 3^{x}=3^{-1} ;\end{array} ;\left[\begin{array}{l}x=2 \ x=-1 .\end{array}ight.ight.ight.$
Ответ: $2; -1$
ewline

ewline 
6) $\frac{9}{2^{x}-1}-\frac{21}{2^{x}+1}=2 $
ewline 
$\frac{\left.9 ( 2^{x}+1ight)-21\left(2^{x}-1ight)}{\left(2^{x}-1ight)\left(2^{x}+1ight)}=2 $
ewline 
$\frac{9 \cdot 2^{x}+9-21 \cdot 2^{x}+21}{2^{2 x}-1}=2  \qquad$ при $x 
eq 0 ($т.к. $ 2^{2 x}-1
eq 0) $. 
ewline 
$ \frac{30-12 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}-1}-2=0 \qquad  	imes (2^{2 x}-1)$
ewline 
$ 30-12 \cdot 2^{x}-2 \cdot 2^{2 x}+2=0 $
ewline 
$2 \cdot 2^{2 x}+12 \cdot 2^{x}-32=0 $
ewline 
 $2^{2 x}+6 \cdot 2^{x}-16=0$
ewline 
Пусть $ 2^{x}=z$, тогда
ewline 
 $z^{2}+6z-16=0 $
ewline 
$D=36+4 	imes 16=100$
ewline 
 $z_{1}=(-6-10) \div 2=-8 \qquad z_{2}=4 \div 2=2 $
ewline 
$\left[\begin{array}{l}2^{x}=-8, x \in \{\varnothing\}\ 2^{x}=2\end{array}ight.$
ewline 
 $2^{x}=2^{1} $
ewline 
$ x=1$
ewline 
 Ответ: $1 $

Задание 2.11

Answers

Comments

Задание 2.11

Answers

Comments

Add answer