Задание 2.9

Question

2.9. Решите уравнение:
1) $2^{x}+2^{x-1}+2^{x-2}=56$;
ewline 
2) $6 \cdot 5^{x}-5^{x+1}-3 \cdot 5^{x-1}=10$;
ewline 
3) $2 \cdot 7^{x}+7^{x+2}-3 \cdot 7^{x-1}=354$
ewline 
4) $4^{x-2}-3 \cdot 2^{2 x-1}+5 \cdot 2^{2 x}=228$.

Gimli · Accepted Answer

$$
\begin{array}{l}
1) 2^{x}+2^{x-1}+2^{x-2}=56 \2^{x-2}\left(2^{x-x+2}+2^{x-1-x+2}+1ight)=56  \
2^{x-2}\left(2^{2}+2^{1}+1ight)=56 \2^{x-2} \cdot 7=56  \2^{x-2}=8 \ 2^{x-2}=2^{3}  \x-2=3 \
x=5 \
\
	ext { 2) } 6 \cdot 5^{x}-5^{x+1}-3 \cdot 5^{x-1}=10  \5 ^{x-1}\left(6 \cdot 5^{x-x+1}-5^{x+1-x+1}-3ight)=10 \
5^{x-1}\left(6 \cdot 5^{1}-5^{2}-3ight)=10  \5^{x-1} \left( 30-25-3ight)=10 \5^{x-1}  	imes 2=10 \5^{x-1}=5 \
x-1=1 \x=2  \
\
	ext { 3) } 2 \cdot 7^{x}+7^{x+2}-3 \cdot 7^{x-1}=354  \7^{x-1}\left(2 \cdot 7^{x-x+1}+7^{x+2-x+1}-3ight)=354  \
7^{x-1}\left(2 \cdot 7^{1}+7^{3}-3ight)=354 \ 7^{x-1}(14+343-3)=354  \7^{x-1}  	imes 354=354  \
7^{x-1}=1 \x-1=0  \x=1 \
\
	ext { 4) } 4^{x-2}-3 \cdot 2^{2 x-1}+5  	imes  2^{2 x}=228  \
2^{2(x-2)}-3 \cdot 2^{2 x-1}+5  	imes 2^{2 x}=228  \
2^{2 x-4}\left(1-3 \cdot 2^{2 x-1-2 x+4}+5 \cdot 2^{2 x-2 x+4}ight)=228  \
2^{2 x-4}\left(1-3 \cdot 2^{3}+5 \cdot 2^{4}ight)=228  \
2^{2 x-4}(1-3 \cdot 8+5 \cdot 16)=228 \ 2^{2 x-4} \cdot 57=228 \ 2^{2 x-4}=4  \
2^{2 x-4}=2^{2} \2 x-4=2 \2 x=6 \x=3 \
\

ext { 5) } 4 \cdot 9^{1,5 x-1}-27^{x-1}=33 \
4 \cdot\left(3^{2}ight)^{1,5 x-1}-\left(3^{3}ight)^{x-1}=33 \
4 \cdot 3^{3 x-2}-3^{3 x-3}=33\
\begin{array}{l}
3^{3 x-3}\left(4 \cdot 3^{3 x-2-3 x+3}-1ight)=33 \
3^{3 x-3} \cdot 11=33 \
3^{3 x-3}=3^{1} \
3 x-3=1 \
3 x=4\
 x=\frac{4}{3} ;
\end{array}\

\
	ext { 6) } 0,5^{5-2 x}+3 \cdot 0,25^{3-x}=5 \
 0,5^{5 x-2x}+3 \cdot\left(0,5^{2}ight)^{3-x}=5 \
 0,5^{5-2 x}+3 \cdot 0,5^{6-2 x}=5 \
 0,5^{-5-2 x}\left(1+3 \cdot 0,5^{-6-2 x-5+2 x}ight)=5 \
0,5^{5-2 x}(1+3 \cdot 0,5)=5 \
 0,5^{5-2 x} \cdot 2,5=5 \
0,5^{-5-2 x}=2 \
0,5^{5-2 x}=0,5^{-1} \ 5-2 x=-1 \
2 x=5+1 \
2 x=6 \ x=3 ;\
	ext { 7) } 2^{2 x+1}+4^{x}-\left(\frac{1}{16}ight)^{1-0,5 x}=47 \ 2^{2 x+1}+\left(2^{2}ight) x-\left(2^{-4}ight)^{1-0,5 x}=47 \
2^{2 x+1}+2^{2 x}-2^{2 x-4}=47 \2^{2 x-4}\left(2^{2 x+1-2 x+4}+2^{2 x-2+4}-1ight)=47 ;\
2^{2 x-4}\left(2^{5}+2^{4}-1ight)=47 \2^{2 x-4}(32+16-1)=47 \2^{2 x-4} \cdot 47=47 ;\
2^{2 x-4}=1 \2 x-4=0 \2 x=4 \x=2 ;\
	ext { 8) } 4 \cdot 3^{x}-5 \cdot 3^{x-1}-6 \cdot 3^{x-2}=15 \cdot 9^{x^{2}-1} \ 4 \cdot 3^{x}-5\cdot3^{x-1}-6 \cdot 3^{x-2}=15 \cdot 3^{2 x^{2}-2} ;\
3^{x-2}\left(4 \cdot 3^{x-x+2}-5 \cdot 3^{x-1-x+2}-6ight)=15 \cdot 3^{2 x^{2}-2} \ 3^{x-2}(36-15-6)=15 \cdot 3^{2 x^{2}-2} \ 3^{x-2} \cdot 15=15 \cdot 3^{2 x^{2}-2} \ 3^{x-2}=3^{2 x^{2}-2} ;\
\begin{array}{l}
x-2=2 x^{2}-2 \2 x^{2}-x=0 \ x(2 x-1)=0 \ x_{1}=0, \qquad x_{2}=\frac{1}{2} .
\end{array}
\end{array}

$$

Задание 2.9

Answers

Comments

Задание 2.9

Answers

Comments

Add answer