Задание 8.14

1.

$$f^{\prime }(x)={((5^x-65)(5^x+15))}^{\prime }={(5^x-65)}^{\prime }(5^x+15)+{(5^x+15)}^{\prime }(5^x-65)=$$

$$=5^x\cdot \ln <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->5(5^x+15)+5^x\cdot \ln <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->5(5^x-65)=5^x\cdot \ln <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->5\cdot (2\cdot 5^x-50)$$

2.

Так как ось $\mathit{Ox}$ параллельна горизонтальной касательной функции, то $$f^{\prime }(x_0)=0$$

3.

Из равенства $f^{\prime }(x_0)=0$ следует $$5^{x_0}\cdot \ln <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->5\cdot (2\cdot 5^{x_0}-50)=0$$

Т.к. $5^{x_0}\cdot \ln <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->5\ne 0$, то

$$2\cdot 5^{x_0}-50=0$$

$$2\cdot 5^{x_0}=50$$

$$5^{x_0}=25$$

$$x_0=2$$

4.

Найдём $f(x_0)$: $$(5^2-65)(5^2+15)=-40\cdot 40=-1600$$

Ответ: -1600.