Задание 9.6

Question

Проверьте, что
\begin{enumerate}
\item $\int{x\cos x dx} = \cos x + x\sin x + C$
\item $\int{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}dx} = \sqrt{x^2 + 4} + C$
\end{enumerate}

Gimli · Accepted Answer

\begin{enumerate}
\item Чтобы доказать, что $$\int{x\cos x dx} = \cos x + x\sin x + C$$ нужно по определению интеграла доказать, что $$(x\sin x+\cos x + C)^{\prime} = x\cos x.$$
Используем формулы производных, чтобы доказать это:
$$(x\sin x+\cos x + C)^{\prime} = (x\sin x)^{\prime} + (\cos x)^{\prime} = x^{\prime}\sin x + x (\sin x)^{\prime} - \sin x = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x,$$
а следовательно, высказывание правда. $\Box$

\item Чтобы доказать, что $$\int{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}dx} = \sqrt{x^2 + 4} + C$$ нужно по определению интеграла доказать, что $$(\sqrt{x^2 + 4} + C)^{\prime} = x\cos x.$$
Используем формулы производных, чтобы доказать это:
$$(\sqrt{x^2 + 4} + C)^{\prime} = (\sqrt{x^2+4})^{\prime} = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}},$$
а следовательно, высказывание правда.. $\Box$
\end{enumerate}

Задание 9.6

Answers

Comments

Задание 9.6

Answers

Comments

Add answer